一种线性系统的动态扩展回归和交互估计方法

一种线性系统的动态扩展回归和交互估计方法

　　技术领域

　　本发明涉及自适应控制技术领域，具体为一种线性系统的动态扩展回归和交互估计方法。

　　背景技术

　　自适应控制总是存在于不确定的复杂工业工程中，例如频繁变化的生产和运行条件，难以用精确的数学模型描述的受控对象的动态特性以及系统的常规控制策略，从而使得控制性能较差。现有技术中，自适应控制方案主要包括两种，分别为基于参数估计的控制方案和基于稳定性理论的控制方案。在基于参数估计的控制方案中，现有带有未知的系统参数的线性系统，在不满足持续激励条件(PE，Persistent of excitation)时，未知的系统参数的估计准确性较低，从而使得工作人员无法对系统提供有效的控制策略，而且对未知的参数的估计不准确会使得累加的误差不断增加，从而容易影响系统的控制效果以及稳定性。同时，不稳定的控制方法会使得整个系统有崩溃的危险，实际工艺流程中，如大型化工设备过程中可能造成大量的经济损失甚至人员危险。

　　发明内容

　　(一)解决的技术问题

　　为解决以上问题，本发明提供了一种线性系统的动态扩展回归和交互估计方法，可以使得不满足持续激励条件的线性系统中的未知的系统参数的估计误差收敛到零。

　　(二)技术方案

　　为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：一种线性系统的动态扩展回归和交互估计方法，包括以下步骤：

　　步骤S1：建立带有未知的系统参数的原始线性系统；

　　步骤S2：引入信号过滤器，原始线性系统通过信号过滤器，并与原始线性系统形成矩阵扩展系统；

　　步骤S3：根据扩展系统，构建行列式表达式，并得出未知的系统参数的估计误差；在满足条件行列式变量的积分结果不是一个常数时，可使未知的系统参数的估计误差收敛到零。

　　优选地，原始线性系统为：

　　

　　其中：t表示时间，yh(t)是根据时间的输出，是已知的有界时间函数，θ是带q有个未知系统参数的向量。

　　优选地，信号过滤器为q-1个线性不相关的L∞线性稳定算子Hi，i∈{1，2，…，q-1}。

　　优选地，矩阵扩展系统为：

　　y(t)＝M(t)θ

　　其中，

　　

　　

　　上式中：y(t)是在实数域上的q维向量，M(t)是在实数域上的q×q维度的矩阵。

　　优选地，步骤S2包括以下步骤：

　　步骤S21：原始线性系统经过q-1个线性稳定算子Hi，并与原始线性系统一起组成q个线性不相关的等式组，即回归函数：

　　

　　步骤S22：用q-1个线性稳定算子Hi过滤，并使用回归函数形成矩阵扩展系统：

　　y(t)＝M(t)θ

　　优选地，步骤S3包括以下步骤：

　　步骤S31：定义M(t)的行列式为，

　　Δ(t)：＝det{M(t)}

　　步骤S32：将矩阵扩展系统乘以M(t)的辅助矩阵，以得到q形式的标量回归，

　　Yi(t)＝Δ(t)θi

　　其中，

　　Y(t)：＝adj{M(t)}y(t)

　　上式中，Y(t)是在实数域上的q维向量，θi为单个未知的系统参数，即为单个未知的系统参数真实值；

　　步骤S33：根据步骤S32可得未知的系统参数估计值的估计率为，

　　

　　和估计误差的估计率为，

　　

　　其中:i∈q，ci为任意大于0的常数项,为单个未知的系统参数的估计值，为单个未知的系统参数的估计值的估计率，为单个未知的系统参数的估计误差，为单个未知的系统参数的估计误差的估计率，

　　步骤S34：在满足条件时，则有

　　

　　从而得到未知的系统参数的估计误差收敛到零。

　　优选地，步骤S34在满足c2＞0时，则可表示为：

　　

　　优选地，线性稳定算子Hi的一种表现形式为：

　　

　　其中，e为指数中的自然对数，α为任意正数。

　　(三)有益效果

　　本发明提供了一种线性系统的动态扩展回归和交互估计方法，具备以下有益效果：带有未知的系统参数的线性系统，在不满足持续激励条件时，通过对该线性系统进行过滤，并得出带有未知的系统参数的行列式表达式，当行列式变量的积分结果不是一个常数时，可对该系统中的未知的系统参数的估计误差收敛到零，以实现对未知的系统参数的准确估计，从而降低未知的系统参数估计不准确带来的累计误差增加，并影响系统的控制效果及稳定性的风险。

　　附图说明

　　附图用来提供对本发明的进一步理解，并且构成说明书的一部分，与本发明的实施例一起用于解释本发明，并不构成对本发明的限制,在附图中：

　　图1示出了本发明的流程图；

　　图2示出了本发明的摆锤实例的行列式值收敛状况图；

　　图3示出了本发明的摆锤实例的未知参数估计误差收敛状况图。

　　具体实施方式

　　下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

　　参阅附图1-附图3，本发明实施例提供一种线性系统的动态扩展回归和交互估计方法，包括以下步骤：

　　步骤S1：建立带有未知的系统参数的原始线性系统；

　　步骤S2：引入信号过滤器，原始线性系统通过信号过滤器，并与原始线性系统形成矩阵扩展系统；

　　步骤S3：根据扩展系统，构建行列式表达式，并得出未知的系统参数的估计误差；在满足条件行列式变量的积分结果不是一个常数时，可使未知的系统参数的估计误差收敛到零。

　　具体的，带有未知的系统参数的线性系统，在不满足持续激励条件时，通过对该线性系统进行过滤，并得出带有未知的系统参数的行列式表达式，当行列式变量的积分结果不是一个常数时，可对该系统中的未知的系统参数的估计误差收敛到零，以实现对未知的系统参数的准确估计，从而降低未知的系统参数估计不准确带来的累计误差增加，并影响系统的控制效果及稳定性的风险。

　　进一步地，原始线性系统为：

　　

　　其中：t表示时间，yh(t)是根据时间的输出，是已知的有界时间函数，θ是带q有个未知系统参数的向量。

　　进一步地，信号过滤器为q-1个线性不相关的L∞线性稳定算子Hi，i∈{1，2，…，q-1}。

　　进一步地，矩阵扩展系统为：

　　y(t)＝M(t)θ

　　其中，

　　

　　

　　上式中：y(t)是在实数域上的q维向量，M(t)是在实数域上的q×q维度的矩阵。

　　进一步地，步骤S2包括以下步骤：

　　步骤S21：原始线性系统经过q-1个线性稳定算子Hi，并与原始线性系统一起组成q个线性不相关的等式组，即回归函数：

　　

　　步骤S22：用q-1个线性稳定算子Hi过滤，并使用回归函数形成矩阵扩展系统：

　　y(t)＝M(t)θ

　　具体的，回归函数为原始线性系统经过线性稳定算子Hi以后的结果，Hi又q-1个，所以也有q-1个，并和原始线性系统一起组成了q个线性不相关的等式组。线性算子Hi的运算过程为：

　　

　　

　　…

　　

　　定义：由于Hi是线性不相关的线性算子，θ不受影响，因此可以用来表示，类推到其他剩下的q-2个表达式，最后加上原始线性系统，组成满秩矩阵：

　　

　　

　　

　　…

　　

　　从而可以得到由q个系统组成的向量

　　

　　因此使得y(t)＝M(t)θ成立。

　　进一步地，步骤S3包括以下步骤：

　　步骤S31：定义M(t)的行列式为，

　　Δ(t)：＝det{M(t)}

　　步骤S32：将矩阵扩展系统乘以M(t)的辅助矩阵，以得到q形式的标量回归，

　　Yi(t)＝Δ(t)θi

　　其中，

　　y(t)：＝adj{M(t)}y(t)

　　上式中，Y(t)是在实数域上的q维向量，θi为单个未知的系统参数，即为单个未知的系统参数真实值；

　　步骤S33：根据步骤S32可得未知的系统参数估计值的估计率为，

　　

　　和估计误差的估计率为，

　　

　　其中:i∈q，ci为任意大于0的常数项，用于调节自适应估计的速率,为单个未知的系统参数的估计值，为单个未知的系统参数的估计值的估计率，为单个未知的系统参数的估计误差，为单个未知的系统参数的估计误差的估计率，本实施例中，可以用导数来表示未知的系统参数的估计值和估计误差的估计率。

　　步骤S34：在满足条件时，则有

　　

　　从而得到未知的系统参数的估计误差收敛到零。

　　具体的，为二范数稳定；表示：当该行列式在时间从0到无穷大的区间内对行列式变量Δ(t)进行积分时的结果不是一个常数，也就是说，时间从0到无穷大的区间内对行列式变量Δ(t)的积分值会无穷大。自适应估计率与直接相关，所以在条件满足时，未知的系统参数的估计误差最终将趋向于0，即成立。

　　进一步地，步骤S34在满足c2＞0时，则可表示为：

　　

　　具体的，由于c2为任意大于0的常数，因此存在一个a，使得如下表达式成立：

　　ciΔ(t)2＞a＞0，ci＞0

　　根据中值定律，在t到t+T时间段内，其中t为初始时间点，T为大于0的任意常数，可以得到：

　　

　　对积分可得：

　　

　　其中，C为任意的积分常数值，因此随着时间t的增加，逐渐减小并趋向于零。

　　本实施例中，只提供了一个较弱的假设，从而仅保证了无症状参数的收敛，而不是指数跟踪到0，所以在满足c2＞0时，就可以保证指数的收敛性。由于c2表示任意大于0的常数，所以与相关行业内的持续激励条件相比，该条件比持续激励条件更加宽松，从而使其应用范围更加广泛。

　　进一步地，线性稳定算子Hi的一种表现形式为：

　　

　　其中，e为指数中的自然对数，α为任意正数。

　　具体的，定义矩阵扩展系统为：

　　y(t)＝m(t)θ：＝[m1(t)m2(t)]θ(1)

　　其中，m1和m2均为实数域上的已知向量；

　　根据混合动态矩阵的方法，将线性稳定算子Hi应用于式子(1)，从而得到：

　　

　　求解常微分方程，则有：

　　

　　其中，i：＝1：∞,并计算得到：

　　

　　因此，结合式子(1)，则有：

　　

　　再与Me的辅助矩阵相乘，得到标量回归：

　　

　　其中，并且Yj＝{adj(Me)Ye}j，Me的行列式为：

　　

　　同时，

　　

　　所以，在满足条件时，此过程可以适用于q维线性系统。

　　具体的，以下用摆锤实验验证该方法的有效性：

　　摆锤的动力学原理是将质量为m的球体悬挂在长度为L的弦上，并固定在枢轴框架上。摆锤的运动方程可描述为：

　　

　　其中，q∈R,为配置变量，u∈R，为控制信号，g∈R+,为重力加速度。定义a＝m和b＝mgL,则有：

　　

　　由李雅普诺夫函数

　　

　　以及

　　

　　

　　并在u＝u1-ks的情况下，结合计算其时间导数，

　　

　　用u1∈R作为新的输入控制，k和σ均大于0，且为自由增益，为未知的系统参数的估计量，θ＝col(a，b)∈R2,qd(t)是期望的轨迹，s速度误差，qr是参考速度，以及

　　

　　如果式子(2)的左侧第一项的括号内的函数等于零，则可以进行θ的估计。假设存在一个控制律u1(t),使得即可满足了位置控制问题，因此(qd，0)是摆锤系统渐进稳定平衡的位置。则在常数qd处时，有：

　　

　　同时，

　　

　　c1＝cos qd，c2＝sin(qd)

　　则可得到矩阵：

　　

　　其决定性收益为：

　　

　　其中，(·)包含所有带有e-αt的项。

　　设m＝2,L＝2和g＝9.81，则有θ＝[2，9.81],初始条件为q0＝6及因此可以模拟不同的行列式值,当行列式值收敛到0时，激励的持久性趋于消失，估计将停止。

　　需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

　　除非另外具体说明，否则在这些实施例中阐述的部件和步骤的相对布置、数字表达式和数值不限制本申请的范围。同时，应当明白，为了便于描述，附图中所示出的各个部分的尺寸并不是按照实际的比例关系绘制的。对于相关领域普通技术人员已知的技术、方法和设备可能不作详细讨论，但在适当情况下，所述技术、方法和设备应当被视为授权说明书的一部分。在这里示出和讨论的所有示例中，任何具体值应被解释为仅仅是示例性的，而不是作为限制。因此，示例性实施例的其它示例可以具有不同的值。应注意到：相似的标号和字母在下面的附图中表示类似项，因此，一旦某一项在一个附图中被定义，则在随后的附图中不需要对其进行进一步讨论。

　　在本申请的描述中，需要理解的是，方位词如“前、后、上、下、左、右”、“横向、竖向、垂直、水平”和“顶、底”等所指示的方位或位置关系通常是基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本申请和简化描述，在未作相反说明的情况下，这些方位词并不指示和暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位或者以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本申请保护范围的限制；方位词“内、外”是指相对于各部件本身的轮廓的内外。

　　为了便于描述，在这里可以使用空间相对术语，如“在……之上”、“在……上方”、“在……上表面”、“上面的”等，用来描述如在图中所示的一个器件或特征与其他器件或特征的空间位置关系。应当理解的是，空间相对术语旨在包含除了器件在图中所描述的方位之外的在使用或操作中的不同方位。例如，如果附图中的器件被倒置，则描述为“在其他器件或构造上方”或“在其他器件或构造之上”的器件之后将被定位为“在其他器件或构造下方”或“在其他器件或构造之下”。因而，示例性术语“在……上方”可以包括“在……上方”和“在……下方”两种方位。该器件也可以其他不同方式定位(旋转90度或处于其他方位)，并且对这里所使用的空间相对描述作出相应解释。

　　此外，需要说明的是，使用“第一”、“第二”等词语来限定零部件，仅仅是为了便于对相应零部件进行区别，如没有另行声明，上述词语并没有特殊含义，因此不能理解为对本申请保护范围的限制。

　　尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。