一种基于轨迹模式的拐角平滑过渡方法
技术领域
本发明属于数控加工技术领域，具体涉及一种基于轨迹模式的拐角平滑过渡方法。
背景技术
早期，为了解决驱动轴频繁启停导致的机床振动问题，学者根据机床加减速性能、负载功率和轮廓误差等约束条件，在连续小线段连接处，计算允许通过的最大速度，并插入一条直线段进行过渡，实现数控程序的连续加工，有效地提高加工效率。但连接处速度方向的突然变化仍会引起机床振动。因此，一些学者在拐角处通过构造各种曲线(如圆弧、多项式、Bézier曲线、B样条等)，不断地提高过渡曲线与小线段连接处的光滑性，生成G1(切线连续)、G2(曲率连续)，甚至G3(曲率变化率连续)连续的加工轨迹，这类方法被称为局部轨迹平滑方法。该方法具有局部性较好和误差控制简单的优点，所以在实际加工中被广泛采用；但在构造G3以上连续性的加工轨迹时，该方法的算法复杂性会显著增加，同时加工效率和加工质量的提升也不再明显。
随着样条插补方法的兴起，为了获得更加光滑的加工轨迹，研究人员提出全局轨迹平滑方法，主要是利用逼近或者插值的方式，在满足轮廓误差限定值的条件下，将由大量离散数据点构成的折线加工路径拟合成一条或多条光滑的样条曲线，改善加工路径的光滑性，提高加工效率和加工质量。例如，学者首先从大量的离散数据点中寻找可拟合的连续区，然后，利用多项式、B样条或NURBS等曲线，对连续区中的折线加工路径进行拟合，获得G1、G2，甚至G3连续的加工轨迹。因此，在提高整体加工路径光滑性和压缩率方面，该方法能够取得很好的效果。但由于需要处理大量离散数据点，随着加工轨迹光滑性的提升，特别是对于G3以上连续性的加工轨迹，该方法会变得更加复杂，其迭代次数与处理时间显著增加，难以保证在数控系统插补周期(2ms)内完成一次插补运算，从而导致机床失步。
速度规划方法，主要是通过对速度、加速度或加加速度进行柔性控制，来保证数控机床的平稳运行，从而提高加工效率和加工质量。例如，直线加减速控制方法在加/减速阶段，令加工速度以线性方式变化，加速度则保持为常数；该方法控制简单，计算量小，但在加/减速阶段的开始和结束处，加速度存在突变，会引起机床振动。一些学者提出了S型和三次多项式型加减速控制方法，构造出光滑的速度曲线和连续的加速度曲线，但其加加速度曲线依然存在阶跃情况。为了进一步实现柔性控制，研究人员提出了四次多项式型、五次多项式型和三角函数型速度规划方法，获得光滑的速度、加速度和加加速度曲线；但由于该方法流程复杂，需要涉及多个参数和方程，占用大量时间进行数值计算，因此，这些方法多采用离线方式进行速度规划。
由以上分析可以看出，为了降低机床振动，实现高速、高精和高质量加工，研究人员使用各种多项式基曲线，如圆弧、多项式、A样条、B样条和C样条等，通过改进拟合方法，不断地提高加工路径的光滑性；同时，通过构造光滑的速度、加速度，甚至加加速度曲线，不断地提高驱动轴的柔性控制能力。但当前，无论是加工路径的光滑性，还是驱动轴的柔性控制能力，都已达到极限，难以继续提升。
发明内容
发明目的：针对现有技术中存在的问题，本发明公开了一种基于轨迹模式的拐角平滑过渡方法，根据给定的基频，利用轨迹模式，在一步之内，完成拐角过渡曲线构造和轴速度规划，有效地提高平滑处理的效率，进一步提高复杂曲线曲面的加工效率和精度，避免机械结构共振。
技术方案：本发明采用如下技术方案：一种基于轨迹模式的拐角平滑过渡方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1、设定轨迹模式：利用三角函数，构造一种仅包含三个低谐波分量的轨迹模式，轨迹模式中包括速度函数、加速度函数、加加速度函数和位移函数；
S2、设置参数初始值：参数包括轨迹模式的基频、拐角过渡曲线的轮廓误差限制、拐角过渡曲线上的运动时间以及拐角过渡曲线起点和终点处的拐角速度、拐角加速度和拐角加加速度；
S3、轴运动规划：建立平面直接坐标系，根据步骤S1中的轨迹模式在两个坐标轴上分别建立关于边界限制的等式约束条件、关于运动轮廓限制的不等式约束条件和关于轮廓误差限制的目标函数，利用线性规划求解轨迹模式中的轨迹参数，分别得到在两个坐标轴上进行运动规划的轴运动轨迹和拐角速度；
S4、轴运动调整：当在两个坐标轴上进行运动规划的拐角速度相等时，将两个坐标轴上的轴运动轨迹合成即可得到拐角过渡曲线和加工拐角过渡曲线时的轴速度规划；当在两个坐标轴上进行运动规划的拐角速度不相等时，重新规划其中一个坐标轴上的轴运动轨迹直到两个拐角速度相等，将两个坐标轴上的轴运动轨迹合成即可得到拐角过渡曲线和加工拐角过渡曲线时的轴速度规划。
优选地，以x轴为例，步骤S3包括如下步骤：
S31、边界限制：通过拐角过渡曲线的起点处的位移、速度、加速度和加加速度以及终点处的速度、加速度和加加速度，建立关于边界限制的等式约束条件；
S32、运动轮廓限制：在拐角过渡曲线上，根据期望的光滑轴运动轮廓，即x轴上加速时轴加速度函数始终大于或等于零，或者x轴减速时轴加速度函数始终小于或等于零，建立关于运动轮廓限制的不等式约束条件；
S33、轮廓误差限制：根据拐角点到拐角过渡曲线的最小距离即轮廓误差与设置的轮廓误差限制，建立关于轮廓误差限制的目标函数；
S34、轨迹参数计算：根据等式约束、不等式约束和目标函数，利用线性规划，计算轨迹参数；
S35、轨迹参数验证：根据计算得到的轨迹参数计算轮廓误差，若轮廓误差小于或等于轮廓误差限制，则通过轨迹参数得到x轴轴运动轨迹；否则，将拐角速度改为现有的拐角速度的1/2，重复步骤S31至S35，直到轮廓误差小于或等于轮廓误差限制。
优选地，步骤S4中，设在x轴上进行运动规划的拐角速度为vi，c，x，在y轴上进行运动规划的拐角速度为vi，c，y，若vi，c，x＝vi，c，y，将x轴轴运动轨迹与y轴轴运动轨迹合成得到拐角过渡曲线和加工拐角过渡曲线时的轴速度规划；
若vi，c，x＜vi，c，y，令vi，c＝vi，c，y，执行步骤S31至S35，重新进行y轴上的运动规划，直到vi，c，x＝vi，c，y，再将x轴轴运动轨迹与y轴轴运动轨迹合成得到拐角过渡曲线和加工拐角过渡曲线时的轴速度规划；
若vi，c，x＞vi，c，y，令vi，c＝vi，c，x，执行步骤S31至S35，重新进行x轴上的运动规划，直到vi，c，x＝vi，c，y，再将x轴轴运动轨迹与y轴轴运动轨迹合成得到拐角过渡曲线和加工拐角过渡曲线时的轴速度规划。
优选地，步骤S1中，速度函数为：
v(t)＝a0+a1 cos(2πft)+a3 cos(6πft)+a5 cos(10πft)
关于时间t，对速度函数求一阶导数，得到加速度函数为：
a(t)＝-2πfa1 sin(2πft)-6πfa3 sin(6πft)-10πfa5 sin(10πft)
关于时间t，对速度函数求二阶导数，得到加加速度函数为：
j(t)＝-(2πf)2a1 cos(2πft)-(6πf)2a3 cos(6πft)-(10πf)2a5 cos(10πft)
关于时间t，对速度函数求不定积分，得到位移函数为：
其中，a0、a1、a3、a5和ac分别为轨迹参数；f为基频；t为时间变量，t∈[0，T]，T为拐角过渡曲线上的运动时间。
优选地，步骤S2中，初始化的参数为：拐角速度vi，c＝min(li，li+1)/2，拐角加速度ai，c＝0，拐角加加速度ji，c＝0，拐角过渡曲线上的运动时间T＝1/2f，其中，f为基频，li和li+1分别为拐角过渡曲线所在拐角两侧的小线段的长度。
优选地，步骤S3中，以x轴为例，关于边界限制的等式约束条件为：
其中，sx(0)、vx(0)、ax(0)和jx(0)分别为拐角过渡曲线的起点处的x轴的轴位移、轴速度、轴加速度和轴加加速度；vx(T)、ax(T)和jx(f)分别为拐角过渡曲线的终点处的x轴的轴速度、轴加速度和轴加加速度；vi，c为拐角过渡曲线起点和终点处的拐角速度；ai，c为拐角过渡曲线起点和终点处的拐角加速度；ji，c为拐角过渡曲线起点和终点处的拐角加加速度；θ1为拐角过渡曲线的起点所在的小线段与x轴之间的夹角，θ2为拐角过渡曲线的终点所在的小线段与起点所在的小线段之间的夹角。
优选地，步骤S3中，以x轴为例，关于运动轮廓限制的不等式约束条件为：
a(ti)≥0或a(ti)≤0，i＝1，2，3，4
其中，
优选地，步骤S6中，关于轮廓误差限制的目标函数为：
min(εi-ε)
其中，εi为拐角过渡曲线的轮廓误差，ε为设置的轮廓误差限制；
其中，a0、a1、a3、a5和ac分别为轨迹参数；f为基频；θ1为拐角过渡曲线的起点所在的小线段与x轴之间的夹角，θ2为拐角过渡曲线的终点所在的小线段与起点所在的小线段之间的夹角。
有益效果：本发明具有如下有益效果：
1、本发明根据给定的基频，利用轨迹模式，在一步之内，完成拐角过渡曲线构造和轴速度规划，有效地提高平滑处理的效率，避免机械结构共振；
2、本发明生成的轴运动学轮廓非常光滑且仅包含三个低频分量，能够显著地降低驱动力/力矩中所包含的高频分量，避免对系统振动模态的激励，实现高速、高质量加工；
3、本发明能够在满足轮廓误差和轴运动学限制的条件下，实现光滑的轴运动轮廓控制，进一步提高复杂曲线曲面的加工效率和精度。
附图说明
图1为本发明的方法流程简图；
图2为本发明的方法流程图；
图3为拐角过渡结构示意图；
图4为光滑的轴运动轮廓中轴位移轮廓的示意图；
图5为光滑的轴运动轮廓中轴速度轮廓的示意图；
图6为光滑的轴运动轮廓中轴加速度轮廓的示意图；
图7为光滑的轴运动轮廓中轴加加速度轮廓的示意图；
图8为加速度分量函数示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作更进一步的说明。
本发明公开了一种基于轨迹模式的拐角平滑过渡方法，根据给定的基频，利用轨迹模式，在一步之内，完成拐角过渡曲线构造和轴速度规划，有效地提高平滑处理的效率，避免机械结构共振；同时，由于生成的轴运动学轮廓非常光滑且仅包含三个低频分量，能够显著地降低驱动力/力矩中所包含的高频分量，避免对系统振动模态的激励，实现高速高质量加工。
如图1所示，本发明提出了一种基于轨迹模式的拐角平滑过渡方法，解决了复杂曲线曲面的加工效率和精度问题，方法由轨迹模式设定、初始化、边界限制、运动轮廓限制、轮廓误差限制、轨迹参数计算和运动轨迹调整7个部分组成，避免机械结构共振，提高加工的质量和效率。如图2所示，本发明具体步骤如下：
S1、轨迹模式设定：利用三角函数，构造一种仅包含三个低谐波分量的轨迹模式。
本发明将速度函数表示为
v(t)＝a0+a1 cos(2πft)+a3 cos(6πft)+a5 cos(10πft) (1)
其中，v(t)为速度函数，a0、a1、a3、a5为轨迹参数；t为时间变量，t∈[0，T]，T为运动时间；f为用户指定的基频。
关于时间t，对公式(1)求一阶和二阶导数，可以得到加速度和加加速度函数：
a(t)＝-2πfa1 sin(2πft)-6πfa3 sin(6πft)-10πfa5 sin(10πft) (2)
j(t)＝-(2πf)2a1 cos(2πft)-(6πf)2a3 cos(6πft)-(10πf)2a5 cos(10πft) (3)
其中，a(t)为加速度函数，j(t)为加加速度函数。
关于时间t，对公式(1)求不定积分，可以得到位移函数：
其中，s(t)为位移函数，ac为轨迹参数。
S2、初始化：图3描述了拐角过渡曲线的几何关系。在图3中，将Pi，s点设置为原点，并以此建立x-y坐标轴，其中，拐角由小线段Pi-1Pi和PiPi+1构成，小线段段长分别为li和li+1，θ1为向量Pi-1Pi和x轴之间的夹角，θ2为向量Pi-1Pi和向量PiPi+1之间的夹角。点Pi，s在小线段Pi-1Pi上，点Pi，e在小线段PiPi+1上，点Pi，s和点Pi，e之间的虚线即为生成的拐角过渡曲线。为了降低拐角过渡曲线构造的复杂度，我们令拐角线段Pi，sPi和PiPi，e的长度均为Li，c，并假设在拐角的开始点Pi，s和结束点Pi，e处具有相同的速度vi，c，加速度ai，c＝0和加加速度ji，c＝0，因此，拐角过渡曲线关于∠Pi-1PiPi+1的角平分线对称，拐角过渡曲线的中点Pi，m距离拐点Pi的距离最近，点Pi与点Pm，i之间的距离即为拐角过渡曲线的轮廓误差。
设置拐角平滑过渡算法中使用的各种变量的初始值：基频f，轮廓误差限制ε，拐角速度vi，c＝min(li，li+1)/2，拐角过渡曲线上的运动时间T＝1/2f。
S3、轴运动规划：根据步骤S1中设定的轨迹模式，在x轴和y轴上分别进行运动规划，计算轨迹参数，得到在x轴运动轨迹和y轴运动轨迹。
以x轴为例，具体步骤如下：
S31、边界限制：根据式(1)-(4)，令sx(0)＝0、vx(0)＝vi，c，xcosθ1、ax(0)＝0、jx(0)＝0、vx(T)＝vi，c，xcos(θ1+θ2)、ax(T)＝0、jx(T)＝0，获得轨迹参数的等式约束条件，得到下式(5)：
其中，sx、vx、ax、jx分别为x轴的轴位移、轴速度、轴加速度和轴加加速度函数，vi，c为拐角速度，θ1为第一条小线段与x轴正方向的夹角，θ2为相邻两条小线段的夹角。
令
S32、运动轮廓限制：根据期望的光滑轴运动轮廓，保证x轴的轴加速度ax(t)≥0或ax(t)≤0，获得轨迹参数的不等式约束。
以加速为例，为了获得光滑的运动学轮廓，如图4至图7所示，需要保证加速度a(t)≥0，t∈[0，T]，这样才能使速度曲线v(t)从开始速度vs到结束速度ve是单调递增的。加速度函数可以写成三个正弦函数复合的形式：
a(t)＝g1(t)+g2(t)+g3(t) (7)
g1(t)＝-2πfa1 sin(2πft) (8)
g2(t)＝-6πfa3 sin(6πft) (9)
g3(t)＝-10πfa5 sin(10πft) (10)
假设g1(t)、g2(t)、g3(t)和a(t)的轮廓如图8所示。从图8可以看出，a(t)的极值出现在g1(t)、g2(t)和g3(t)的极值点附近。因此，为了获得光滑的运动学轮廓，只需保证在所有g1(t)、g2(t)和g3(t)的极值点处a(t)≥0。极值点的计算方法如下所示：
以g1(t)为例，由于正弦函数sin(j)的极值点出现在点j＝(2k+1)π/2，k∈Z，因此我们可以得到g1(t)的极值点方程
根据式(11)和条件t∈[0，T]，k可以表示为
然后，计算所有满足式(12)的k，并将其代入式(11)可以得到g1(t)的极值点
通过上述方法，我们也能计算出g2(t)和g3(t)的极值点。最后，所有的极值点为
将所有的极值点代入式(7)，即可得到相应的a(t)值
a(t1)＝a(t7)，a(t2)＝a(t6)，a(t3)＝a(t5)，a(t4) (15)
因此，为了获得光滑的运动学轮廓，只需要保证加加速度a(ti)≥0，i＝1，2，3，4。
同理，以减速为例，为了获得光滑的运动学轮廓，只需要保证加加速度a(ti)≤0，i＝1，2，3，4。
S33、轮廓误差限制：根据拐角过渡结构的几何关系，获得轨迹参数的目标函数。
根据拐角过渡结构，可以得到拐角段长和拐角过渡曲线位移的关系：
其中，Li，c为拐角段长。对上式进行化简可以得到
根据拐角过渡结构，可以得到轮廓误差在x轴方向上的投影
其中，εi为拐角过渡曲线的轮廓误差，εi，x为εi在x轴上的投影。
拐点Pi的x轴坐标xi可以表示为
xi＝Li，c cosθ1 (19)
拐角过渡曲线中点的x轴坐标xi，m可以表示为
根据拐角过渡结构，可以得到以下关系
εi，x＝xi，m-xi (21)
将式(17)-(20)代入式(21)，轮廓误差可以表示为
S34、轨迹参数计算：根据等式约束、不等式约束和目标函数，利用线性规划，计算轨迹参数，保证生成的轴运动学轮廓非常光滑且仅包含三个低频分量。
假设ε为用户设定的轮廓误差限制，令(εi-ε)为目标函数，ax(ti)之0，i＝1，2，3，4为运动轮廓的不等式约束，其中，ti为极值点出现的时间点，通过对下式进行线性规划，即可求得轨迹参数ac、a0、a1、a3和a5：
min(εi-ε) (23)
a(ti)≥0，i＝1，2，3，4 (25)
S35、轨迹参数验证：用得到的轨迹参数代入公式(22)中计算轮廓误差εi，若εi≤ε，则该拐角速度vi，c为对x轴进行运动规划时的拐角速度vi，c，x，该组轨迹参数为对x轴进行运动规划时的轨迹参数，将轨迹参数代入公式(1)-(4)中，得到x轴轴运动轨迹；若εi＞ε，则将拐角速度改为现有的拐角速度的1/2，即令vi，c＝vi，c/2，重复步骤S31至S35，直到εi≤ε。
同理，对y轴进行如步骤s31至S35所述的运动规划，可以得到对y轴进行运动规划时的拐角速度vi，c，y，对y轴进行运动规划时的轨迹参数和y轴轴运动轨迹。
S4、轴运动调整：当对x轴进行运动规划时的拐角速度vi，c，x与对y轴进行运动规划时的拐角速度vi，c，y之间满足vi，c，x＝vi，c，y时，令vi，c＝vi，c，x＝vi，c，y为拐角过渡曲线的拐角速度，将x轴轴运动轨迹与y轴轴运动轨迹合成即可得到拐角过渡曲线和加工拐角过渡曲线时的轴速度规划。
当vi，c，x≠vi，c，y时，若vi，c，x＜vi，c，y，则令拐角速度vi，c＝vi，c，y，执行步骤S31至S35，重新进行y轴上的运动规划，直到vi，c，x＝vi，c，y，令vi，c＝vi，c，x＝vi，c，y为拐角过渡曲线的拐角速度，再将x轴轴运动轨迹与y轴轴运动轨迹合成即可得到拐角过渡曲线和加工拐角过渡曲线时的轴速度规划；
若vi，c，x＞vi，c，y，则令拐角速度vi，c＝vi，c，x，执行步骤S31至S35，重新进行x轴上的运动规划，直到vi，c，x＝vi，c，y，令vi，c＝vi，c，x＝vi，c，y为拐角过渡曲线的拐角速度，再将x轴轴运动轨迹与y轴轴运动轨迹合成即可得到拐角过渡曲线和加工拐角过渡曲线时的轴速度规划。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。
