一种有限时间收敛的二阶滑模控制方法

一种有限时间收敛的二阶滑模控制方法

　　技术领域

　　本发明涉及一种控制方法。属于自动化控制领域。

　　背景技术

　　滑模控制方法目前已经被广泛应用于航天器控制、飞行器控制、机电系统控制等领域。按照系统相对阶数，滑模控制方法可以分为一阶滑模控制方法、二阶滑模控制方法和高阶滑模控制方法。二阶滑模及高阶滑模相对于一阶滑模控制的显著优点是能够削弱抖振现象。

　　目前，基于终端滑模面，非奇异终端滑模面及快速非奇异终端滑模面设计的一阶滑模控制方法能够使系统状态在有限时间内收敛到平衡点附近的邻域，但由于控制策略中存在切换函数，因此所得到的一阶滑模控制策略将使系统出现明显的抖振现象。二阶滑模控制能够显著消除系统中存在的抖振现象，但是由于终端滑模面和非奇异终端滑模面在进行微分运算时将产生奇异项，因此二阶滑模控制无法基于终端滑模面和非奇异终端滑模面进行设计，这就意味着，目前二阶滑模控制策略只能使被控对象(系统)的状态渐进稳定到平衡点。

　　发明内容

　　本发明是为了解决目前存在的二阶滑模控制无法基于终端滑模面和非奇异终端滑模面进行设计问题。

　　一种有限时间收敛的二阶滑模控制方法，包括以下步骤：

　　针对被控对象建立含有不确定性的非线性二阶系统：

　　

　　其中，x1和x2是系统的状态，且x1和x2及其各自的一阶导数及二阶导数均可测，为x1的一阶导数；b(x1,x2)和f(x1,x2)是已知的非线性函数，d(t,x1,x2)是未知的非线性扰动，u是系统的输入控制信号，y是系统的输出；t为时间；

　　设计对数双曲正切终端滑模面为

　　

　　其中，k＞0是常值参数，p和q都是正奇数，且0＜p/q＜1；sgn(·)为符号函数；当系统状态x1和到达滑模面s＝0，系统状态x1和将沿滑模面s＝0在有限时间内滑动到原点附近的微小邻域。

　　基于滑模面(2)设计二阶对数双曲正切滑模控制策略并进行控制。

　　进一步地，所述未知的非线性扰动d(t,x1,x2)满足约束|d(t,x1,x2)|＜η，η是约束上限。

　　进一步地，所述基于滑模面(2)设计的二阶对数双曲正切滑模控制策略为：

　　

　　其中，常数K1＞2η，常数

　　进一步地，当被控对象为航天器姿态控制系统时，含有不确定性的非线性二阶系统的具体形式如下：

　　

　　其中：表示航天器姿态的四元数，x1＝q，D(t,x1,x2)＝E(q)J-1d，B(x1,x2)＝E(q)J-1；I3×3为单位矩阵；是航天器姿态四元数的标量部分，q＝[q1 q2 q3]T是航天器的姿态四元数的矢量部分，和分别是q的一阶导数和二阶导数，ω是航天器的转动角速度是其一阶导数，ω×的定义方式与q×相同；d是航天器受到的外部有界扰动；u是作用于航天器上的控制信号；J为转动惯量矩阵。

　　进一步地，所述航天器的姿态四元数用于描述航天器的姿态控制模型，具体形式为

　　有益效果：

　　本发明解决了二阶滑模控制无法基于终端滑模面和非奇异终端滑模面进行设计问题。而且可以使系统的状态在有限时间内收敛到平衡点附近的微小邻域内，且本发明的二阶控制策略具有更小的抖振。

　　附图说明

　　图1为控制策略(3)作用下，实施例一中的系统状态到达滑模面的过程；图1的横坐标为时间，纵坐标为x1；

　　图2为控制策略(3)作用下，实施例一中的系统状态沿滑模面滑动到平衡点附近的微小邻域的过程；图2的横坐标为时间，纵坐标为s；

　　图3为实施例一中的一阶控制策略的曲线；图3的横坐标为时间，纵坐标为u1；

　　图4为控制策略(4)作用下，实施例一中的系统状态到达滑模面的过程；图4的横坐标为时间，纵坐标为x1；

　　图5为控制策略(4)作用下，实施例一中的系统状态沿滑模面滑动到平衡点附近的微小邻域的过程；图5的横坐标为时间，纵坐标为s；

　　图6为实施例一中的二阶控制策略的曲线；图3的横坐标为时间，纵坐标为u2；

　　图7为实施例二的系统状态收敛到滑模面的过程；

　　图8为实施例二中姿态跟踪误差收敛过程；

　　图9为实施例二中角速度跟踪误差的收敛过程；

　　图10为实施例二中控制策略(10)的输入信号。

　　具体实施方式

　　具体实施方式一：

　　本实施方式所述的一种有限时间收敛的二阶滑模控制方法，包括以下步骤：

　　针对被控对象建立含有不确定性的非线性二阶系统：

　　

　　其中，x1和x2是系统的状态，且x1和x2及其各自的一阶导数及二阶导数均可测，为x1的一阶导数；对于一个二阶系统而言，x1可以为位置或角度等信息，对应x2可以为速度或角速度等信息；b(x1,x2)和f(x1,x2)是已知的非线性函数，d(t,x1,x2)是未知的非线性扰动，d(t,x1,x2)满足约束|d(t,x1,x2)|＜η，η是约束上限；u是系统的输入控制信号，y是系统的输出；t为时间；

　　设计对数双曲正切终端滑模面为

　　

　　其中，k＞0是由设计者根据性能要求设置的常值参数，p和q都是正奇数，且0＜p/q＜1；sgn(·)为符号函数；

　　当系统状态x1和到达滑模面(2)之后，即当s＝0时，系统状态x1和将在有限时间内到达包含原点的微小邻域。证明过程如下：

　　当s＝0时，公式(2)可以改写为

　　

　　选取Lyapunov函数为

　　

　　对V1求导可得

　　

　　对于一个任意的、有限小的、包含原点的微小邻域|x1|＜ε，都有下式成立：

　　

　　那么，公式

　　

　　可以改写为

　　

　　证毕。

　　基于该滑模面(2)设计得到的一阶对数双曲正切滑模控制策略为：

　　

　　要证明控制策略(3)作用下的系统(1)的可在有限时间内到达s＝0只需选定公式Lyapunov函数为如下公式即可：

　　

　　基于滑模面(2)设计得到的二阶对数双曲正切滑模控制策略为：

　　

　　其中，u0为中间变量，通过的积分得到；常数K1满足K1＞2η，常数控制策略(4)能够使系统状态x1和在有限时间内到达滑模面

　　要证明控制策略(4)作用下的系统(1)的可在有限时间内到达s＝0只需选定公式Lyapunov函数为如下公式即可：

　　

　　这里的证明过程就是参照经典的超螺旋滑模，即Super-Twisting方法。

　　公式(4)中的项对于原点是非奇异的。该事实可由洛必达法则证明：

　　

　　证毕。

　　一阶对数双曲正切终端滑模控制策略(3)和二阶对数双曲正切终端滑模控制策略(4)都可以使系统(1)的状态x1和x2在有限时间内收敛到平衡点附近的微小邻域内，且控制策略(4)相比于控制策略(3)具有更小的抖振。

　　实施例一：

　　将具体实施方式一的方案对用于广义的二阶系统，进行仿真，具体如下：

　　取系统(1)的初始值为x1(0)＝2，x2(0)＝0，已知的非线性函数分别为b(x1,x2)＝1，系统扰动为d(t,x1,x2)＝0.01sin(20t)。

　　对数双曲正切终端滑模面(2)中的参数取为：k＝5，p/q＝3/5。

　　一阶对数双曲正切终端滑模控制策略(3)中的参数取为：η＝0.1。在一阶对数双曲正切终端滑模控制策略(3)的作用下，系统状态x1和x2到达滑模面的过程如图1所示，系统状态x1和x2沿滑模面滑动到平衡点的过程如图2所示。一阶对数双曲正切终端滑模控制策略(3)的曲线如图3所示。结果表明，一阶对数双曲正切终端滑模控制策略可以使系统(1)的状态x1和x2在有限时间内收敛到平衡点附近的微小邻域内；一阶对数双曲正切终端滑模控制策略(3)曲线平缓，无突变到无穷大的趋势(即无奇异项)。

　　二阶对数双曲正切终端滑模控制策略(4)中的参数取为：K1＝0.1，K2＝0.0014。在二阶对数双曲正切终端滑模控制策略(4)的作用下，系统状态x1和x2到达滑模面的过程如图4所示，系统状态x1和x2沿滑模面滑动到平衡点的过程如图5所示。一阶对数双曲正切终端滑模控制策略(4)的曲线如图6所示。结果表明，二阶对数双曲正切终端滑模控制策略可以使系统(1)的状态x1和x2在有限时间内收敛到平衡点附近的微小邻域内；二阶对数双曲正切终端滑模控制策略(3)曲线平缓，无突变到无穷大的趋势(即无奇异项)；控制策略(4)相比于控制策略(3)具有更小的抖振。

　　以传统的二阶线性超扭滑模控制策略作为对比，进行说明：

　　传统的二阶线性超扭滑模控制策略的形式为

　　

　　其中

　　

　　1、一阶对数双曲正切终端滑模控制策略(3)和二阶对数双曲正切终端滑模控制策略(4)都可以使系统(1)的状态x1和x2在有限时间内收敛到平衡点附近的微小邻域内(即有限时间内到达某一精度，而非无穷时间)；而控制策略(5)只能保证当时间无穷大的时候，系统状态才能收敛到平衡点。

　　2、一阶对数双曲正切终端滑模控制策略(3)和二阶对数双曲正切终端滑模控制策略(4)均无奇异项。

　　3、控制策略(4)相比于控制策略(3)具有更小的抖振。

　　实施例二：

　　将具体实施方式一的方案对用于航天器姿态控制系统，具体如下：

　　用姿态四元数描述姿态控制模型：

　　

　　其中，表示航天器姿态的四元数，是航天器姿态四元数的标量部分，q＝[q1 q2 q3]T是航天器的姿态四元数的矢量部分，I3×3为单位矩阵；和分别是姿态四元数的一阶导数和二阶导数，本实施例中，粗体的矢量形式q用于表示航天器的姿态四元数，区别于细体形式表示的正奇数q，也正是为了区分于正奇数q，航天器姿态四元数的标量部分用表示；ω是航天器的转动角速度，是其一阶导数，ω×的定义方式与q×相同；d是航天器受到的外部有界扰动；u是作用于航天器上的控制信号；J为转动惯量矩阵；

　　显然，系统(7)可以变化为如下形式：

　　

　　其中：x1＝q，D(t,x1,x2)＝E(q)J-1d，B(x1,x2)＝E(q)J-1；

　　记那么，可以按照公式(2)设计矢量形式的对数双曲余弦滑模面为

　　

　　由此可得用于航天器姿态控制的二阶对数双曲正切滑模控制策略具体为：

　　

　　其中Γ＝[Γ1 Γ2 Γ3]T，其中

　　不失一般性，给定系统状态的初值为转动惯量ω＝[0 0 0]Trad/s，控制策略中的参数选取为与实施例1中的参数一致，将(10)所得的控制策略作用于系统(7)后，系统状态收敛到滑模面的过程如图7所示，姿态跟踪误差和角速度跟踪误差的收敛过程分别如图8和图9所示，控制策略(10)的输入信号如图10所示。显然，系统状态在有限时间内收敛到平衡点附近的邻域，且控制信号无高频抖振，也无奇异现象。

　　需要注意的是，具体实施方式和实施例仅仅是对本发明技术方案的解释和说明，不能以此限定权利保护范围。凡根据本发明权利要求书和说明书所做的仅仅是局部改变的，仍应落入本发明的保护范围内。