一种基于最优阻尼原理的磁悬浮柔性转子稳定控制方法
技术领域
本发明涉及磁悬浮转子控制的技术领域，具体涉及一种基于最优阻尼原理的磁悬浮柔性转子稳定控制方法，用于磁悬浮柔性转子系统过一阶临界转速的稳定控制。
背景技术
磁悬浮转子是旋转机械系统的重要环节，随着工业的发展对旋转机械提出高效率和高能量密度重大需求，这就要求磁悬浮转子向着更细、更长、转速更高的方向发展，转子工作在一阶或多阶临界转速之上，转子变成柔性的，柔性转子在柔曲模态处，会出现共振现象，极易导致转子碰到保护轴承引起转子失稳，这直接影响设备寿命和工作安全性。因此为了保证柔性转子的稳定运行，必须对柔性转子进行过临界稳定控制。
相对刚性转子，磁悬浮柔性转子之所以对控制系统提出了更大挑战，主要是因为柔性转子相对刚性转子具有宽的多的机械带宽，这就意味着柔性转子的高频固有振动比刚性转子的高频固有振动更易于被激发，此外，柔性转子变形与转速有着密切关系，所以柔性转子稳定控制无论在理论上还是技术上都比刚性转子复杂，是近年来磁悬浮研究领域的难点。
现有的技术中，很多学者将鲁棒控制器应用在磁悬浮柔性转子稳定控制上，其中最典型的代表为H∞控制、μ综合控制和LQG控制；随着控制理论的发展，包括滑模控制、神经网络在内的智能控制方法也被应用到磁悬浮柔性转子稳定控制上。但是现有技术方法有以下缺点：(1)通常控制器阶次较高，需要构建状态观测器。(2)过于依赖系统模型的准确度，且算法复杂。
发明内容
本发明的目的：克服现有方法的不足，发明了一种基于最优阻尼原理的磁悬浮柔性转子稳定控制方法，采用最优阻尼分析和相位补偿器实现柔性转子一阶柔性模态下的稳定控制。
本发明的技术解决方案：一种基于最优阻尼原理的磁悬浮柔性转子稳定控制方法，包括以下步骤：
1、建立磁悬浮柔性转子系统的动力学模型
将柔性转子视为由质量连续分布的有限个单元组成的弹性系统，沿轴线将每个质量单元等效为一个节点，从而将整个转子等效为由n(n<8000)个节点组成的弹性系统，根据转子轴向质量单元受力方式的不同，将这n个等效节点分为两部分，磁轴承支撑处节点和磁轴承支撑之外节点。以下均有，
首先，分析磁轴承支撑之外节点的动力学方程，在不考虑磁轴承阻尼和刚度的节点i处，不计剪切变形的影响，分析节点i的受力情况：
X方向受力方程：
Y方向受力方程：
其中，xi和yi分别为节点i在坐标轴X和Y方向的挠度，αi和βi分别为节点i绕坐标轴X和Y方向的转动角度，Mi和Ni分别为节点i绕坐标轴X和Y方向的弯矩，Si和Qi分别为节点i沿坐标轴X和Y方向的剪力，Pxi和Pyi分别为节点i绕坐标轴X和Y方向的力矩，Fxi和Fyi分别为节点i沿坐标轴X和Y方向的惯性力，Ei、li、Ii分别为节点i的材料弹性模量、轴向长度和截面惯性矩。
根据转子动力学相关知识，节点i上的力矩和惯性力分别为：
其中，mi为节点i的质量，Jxi、Jyi、Jzi分别为节点i沿坐标轴X、Y和Z方向的转动惯量，Ωi为节点i的转动角速度。
综合方程(1)～(4)，可以得到磁轴承支撑之外节点的动力学方程为：
上式中，
其中，qi为广义坐标向量，Mi、Di分别为动力学方程的质量矩阵和阻尼矩阵，
步骤2，分析磁轴承支撑处节点的动力学方程，对于有磁轴承支撑的节点j而言，转子在X和Y方向受到的轴承力Fmx和Fmy可以表示为：
其中，keq、deq分别为磁轴承的支撑刚度和支撑阻尼。
综合方程(5)、(6)、(7)，得到磁轴承支撑处节点的动力学方程为：
上式中，
步骤3，根据方程(5)和(8)求磁悬浮柔性转子系统的动力学方程，综合这n个质量单元的动力学方程，可以得到磁悬浮柔性转子系统的动力学方程为：
上式中，q＝[x1,y1,α1,β1,x2,y2,α2,β2,...,xn,yn,αn,βn]，M＝diag[M1,M2,...MN]4n×4n，D＝diag[D1,D2,...Dc+Deq,...De+Deq,...Dn]4n×4n
其中，q为转子系统动力学方程的广义坐标向量，M为转子系统动力学方程的质量矩阵，D为转子系统动力学方程的阻尼矩阵，K为转子系统动力学方程的刚度矩阵。
2、基于磁悬浮柔性转子的动力学模型进行转子不平衡响应分析
转子动力学方程(9)的通解为：
其中，Φo＝[φ1,φ2,...φi..,φ4n]表示转子各阶的模态振型，Λo＝[ω1,ω2,...ωi...ω4n]表示转子各阶的模态频率，且φi和ωi分别为矩阵Φo和Λo的任意列向量。
通过Laplace变换可以将方程(9)转化为传递函数的形式，进而得到转子的不平衡响应函数为：
其中，φir表示φi的第r个元素，mh为转子质量，di为转子任意阶的模态阻尼，ωi为转子任意阶的模态频率，Fm(s)为转子系统的不平衡力，qr(s)为转子位移输出响应。
3、分析磁轴承控制系统在一阶柔性模态处取得最优阻尼的条件
将转子位移到磁轴承力之间的反馈通道称为磁轴承系统等效控制器，记为Ge(s)；将转子位移到功放电流之间的反馈环节记为Gec(s)。磁轴承系统等效控制器Ge(s)和反馈环节Gec(s)在频域内的表示分别为Ge(jω)和Gec(jω)。
磁轴承系统等效控制器Ge(jω)的表达式为：
Ge(jω)＝kiGec(jω)-kh (12)
其中，ki为磁轴承的电流刚度，kh为磁轴承的位移刚度。
反馈环节Gec(jω)在一阶柔性模态处的表达式为：
其中，
令：
将(13)(14)(15)式带入(12)式可以得到磁轴承系统等效控制器在一阶柔性模态处的表达式为：
令：
ke＝kikiy-kh(17)
de＝kidiy (18)
其中，ke和de分别为磁轴承等效控制器在一阶柔性模态处的刚度和阻尼。
将(15)式带入(18)式中可知，阻尼de取得最优值的相位条件是
接下来确定幅值条件，一阶柔性模态位移
上式中，
为了使系统响应速度快且超调量较小，通常希望0<ε≤0.707且ε在此范围内越大越好。因此有：
由此可确定
在实际系统中，考虑到磁轴承功放饱和特性的影响，
综上所述，磁轴承控制系统在一阶柔性模态处取得最优阻尼的条件是：
4、根据第三步所求的最优阻尼条件设计相位补偿控制器
设计一种相位补偿控制器，将控制系统的相位补偿到90°，幅值补偿到
上式中，τ1、τ2为补偿器的频率系数，对GPBF的幅频、相频特性影响都较大；ζ1、ζ2为补偿器的阻尼系数，主要影响GPBF的幅频特性。
本发明与现有技术相比的优点：
(1)采用有限元分析建立转子系统的动力学模型，提高了柔性转子建模的精度，在模型的基础上通过转子不平衡响应分析，消除了转子高阶模态的影响，能够减少控制器的阶次，同时也不需要构建状态观测器，大大降低了控制器设计的难度；
(2)对于柔性转子过一阶临界转速的问题，现有技术控制算法复杂，对硬件系统要求较高，本发明在传统PID控制的基础上，通过设计相位补偿器实现转子过一阶临界转速的稳定控制，控制算法简单，降低了对硬件系统的要求，更具实用性和可操作性；
(3)针对现有技术难以解决的过一阶临界转速磁轴承阻尼不足的问题，本发明从实际控制系统出发，通过最优阻尼分析充分利用磁轴承有限的电磁力，能够大大提高系统的控制效能，优化转子过一阶临界转速的控制效果，对磁轴承柔性转子过临界问题研究有重要的实际意义。
附图说明
图1为磁悬浮柔性转子系统的结构图；
图2为柔性转子的离散化模型
图3为本发明一种基于最优阻尼原理的磁悬浮柔性转子稳定控制方法的流程图；
图4为磁轴承控制系统的框图；
图5为磁轴承控制系统反馈环节的控制框图；
图6为磁轴承控制系统等效控制器的控制框图；
图7为补偿前后Ge(s)的频率特性曲线；
图8为补偿前后转子的位移同频振幅曲线；
图9为补偿前后转子一阶弯曲模态的位移信号。
具体实施方式
下面结合附图及实施例对本发明进行详细说明。
以400kW磁悬浮柔性转子系统为例，如图1所示，该系统主要包括(从左到右)：平衡盘、左径向位移传感器、径向磁轴承(A)、高速电机、转子碳纤维保护层、径向磁轴承(B)、右径向位移传感器、轴向磁轴承和轴向位移传感器。如图2所示，将柔性转子视为由质量连续分布的有限个单元组成的弹性系统，沿轴线将每个质量单元等效为一个节点，从而将整个转子等效为由88个节点组成的弹性系统，根据转子轴向质量单元受力方式的不同，将这88个等效节点分为两部分：磁轴承支撑处节点和磁轴承支撑之外节点。以下均有，
如图3所示，本发明一种基于最优阻尼原理的磁悬浮柔性转子稳定控制方法的具体实施过程如下：
1、建立磁悬浮柔性转子系统的动力学模型
①分析磁轴承支撑之外节点的动力学方程。在不考虑磁轴承阻尼和刚度的节点i处，不计剪切变形的影响，分析节点i的受力情况：
X方向受力方程：
Y方向受力方程：
其中，xi和yi分别为节点i在坐标轴X和Y方向的挠度，αi和βi分别为节点i绕坐标轴X和Y方向的转动角度，Mi和Ni分别为节点i绕坐标轴X和Y方向的弯矩，Si和Qi分别为节点i沿坐标轴X和Y方向的剪力，Pxi和Pyi分别为节点i绕坐标轴X和Y方向的力矩，Fxi和Fyi分别为节点i沿坐标轴X和Y方向的惯性力，Ei、li、Ii分别为节点i的材料弹性模量、轴向长度和截面惯性矩。
根据转子动力学相关知识，节点i上的力矩和惯性力分别为：
其中，mi为节点i的质量，Jxi、Jyi、Jzi分别为节点i沿坐标轴X、Y和Z方向的转动惯量，Ωi为节点i的转动角速度。
综合方程(1)～(4)，可以得到磁轴承支撑之外节点的动力学方程为：
上式中，
其中，qi为广义坐标向量，Mi、Di分别为动力学方程的质量矩阵和阻尼矩阵，
②分析磁轴承支撑处节点的动力学方程。对于有磁轴承支撑的节点j而言，转子在X和Y方向受到的轴承力Fmx和Fmy可以表示为：
其中，keq、deq分别为磁轴承的支撑刚度和支撑阻尼。
综合方程(5)(6)(7)，得到磁轴承支撑处节点的动力学方程为：
上式中，
③根据方程(5)和(8)求磁悬浮柔性转子系统的动力学方程。综合这88个质量单元的动力学方程，可以得到磁悬浮柔性转子系统的动力学方程为：
上式中，q＝[x1,y1,α1,β1,x2,y2,α2,β2,...,xN,yN,αN,βN]，M＝diag[M1,M2,...MN]4N×4N，D＝diag[D1,D2,...Dc+Deq,...De+Deq,...DN]4N×4N
其中，q为转子系统动力学方程的广义坐标向量，M为转子系统动力学方程的质量矩阵，D为转子系统动力学方程的阻尼矩阵，K为转子系统动力学方程的刚度矩阵。
2、基于磁悬浮柔性转子的动力学模型进行转子不平衡响应分析
转子动力学方程(9)的通解为：
其中，Φo＝[φ1,φ2,...φi..,φ4n]表示转子各阶的模态振型，Λo＝[ω1,ω2,...ωi...ω4n]表示转子各阶的模态频率，且φi和ωi分别为矩阵Φo和Λo的任意列向量；
通过Laplace变换可以将方程(9)转化为传递函数的形式，进而得到转子的不平衡响应函数为：
其中，φir表示φi的第r个元素，mh为转子质量，di为转子任意阶的模态阻尼，ωi为转子任意阶的模态频率，Fm(s)为转子系统的不平衡力，qr(s)为转子位移输出响应。
3、分析磁轴承控制系统一阶柔性模态处取得最优阻尼的条件
磁轴承闭环控制系统的原理框图如图4所示，其中u为控制器参考输入，i为功放输出电流，y为转子位移，Fu为不平衡力，Fm为磁轴承力，ki为磁轴承的电流刚度，kh为磁轴承的位移刚度，其中Gpid(s)为控制器，Gr(s)为柔性转子，Gamp(s)功率放大器，Gs(s)为位移传感器，GLPF(s)为抗混叠滤波器。将转子位移输出y到磁轴承力Fm之间的反馈通道称为磁轴承系统等效控制器记为Ge(s)，如图5所示；将转子位移输出y到功放电流i之间的反馈环节记为Gec(s)，如图6所示。磁轴承系统等效控制器Ge(s)和反馈环节Gec(s)在频域内的表示分别为Ge(jω)和Gec(jω)。
磁轴承系统等效控制器Ge(jω)的表达式为：
Ge(jω)＝kiGec(jω)-kh (12)
其中，ki为磁轴承的电流刚度，kh为磁轴承的位移刚度。
反馈环节Gec(jω)在一阶柔性模态处的表达式为：
其中，
令：
将(13)(14)(15)式带入(12)式可以得到磁轴承系统等效控制器在一阶柔性模态处的表达式为：
令：
ke＝kikiy-kh(17)
de＝kidiy (18)
其中，ke和de分别为磁轴承等效控制器在一阶柔性模态处的刚度和阻尼。
将(15)式带入(18)式中，当
电流刚度ki和模态频率
一阶柔性模态位移
上式中，
为了使系统响应速度快且超调量较小，通常希望0<ε≤0.707且ε在此范围内越大越好。因此有：
由此可确定
在实际系统中，考虑到磁轴承功放饱和特性的影响，
4、根据第三步所求的最优阻尼条件设计相位补偿控制器
设计一种相位补偿控制器将系统补偿至最优状态下，其表达式为：
上式中，τ1、τ2为补偿器的频率系数，对GPBF的幅频、相频特性影响都较大；ζ1、ζ2为补偿器的阻尼系数，主要影响GPBF的幅频特性。
如图7所示，补偿前Ge(s)在一阶柔性模态处的幅值和相位分别为82.5dB和12°，最优相位补偿器将Ge(s)在一阶柔性模态处的幅值和相位分别补偿为88.95dB和90°。在转子的升速实验中，如图8所示，补偿前随着转速的增加转子的同频位移振幅逐渐增大，升速至一阶柔性模态时转子失稳，补偿后转子在一阶柔性模态处的位移同频振幅为0.025mm，仅为磁轴承保护间隙(0.4mm)的6.25％。在转子一阶模态处，通过图9所示的转子一阶弯曲模态的位移信号可以看出，采用本发明的方法之后转子在一阶柔性模态下的振动明显降低，转子顺利通过一阶柔性模态。
