基于分数阶傅里叶变换的多混沌Arnold图像加密方法
技术领域
本发明涉及信息安全和图像处理技术领域，涉及一种基于分数阶傅里叶变换的多混 沌Arnold图像加密方法。
背景技术
图像信息因其具有形象直观的特点，在政治，军事，医学及人们的日常生活中具有广泛的应用。因此，图像在传递过程中如何保障图像信息不被恶意攻击窃取、破坏的安全问题也更加值得我们关注。
Refregier与Javidi教授在1995年应用双随机相位编码技术进行图像的加密，开创了 光学图像加密的先河，光学加密的方法可以在完成图像信息传输的同时完成图像的加密，具 有高效的运算能力。并且还具有大容量，高速度，多维度与安全高的优势。在2000年 Unnikrishnan等人首次将分数傅里叶变换引入图像加密，因为分数阶傅里叶变换分数阶数的 可加性，可以很好增强密钥空间。分数阶傅里叶变换因为在加密中具有较高的自由度，逐渐 成为光学图像加密的重要方法，得到了广泛的应用。但分数阶傅里叶变换在单独应用图像加 密时，分数阶数的敏感性并不是很高，存在着安全的隐患。
图像置乱是图像加密中的重要途径，基于空间域的图像置乱的思想就是将一幅图像 经过数学变换改变图像原本的像素位置，破坏原本图像相邻像素的相关性，从而达到图像加 密的效果。Arnold变换，骑士巡游变换，幻方变换等方法是常见的图像置乱方法，Arnold 变换在图像加密过程中因其简单有效性，同时有着良好的混沌动力学特性而成为图像置乱的 最常用的方法。而在加密过程中引入混沌系统可以更好增强图像置乱的效果。混沌现象就是 确定的混沌系统中产生的不确定现象，超混沌Lorenz与一维混沌Logistic系统产生的随机序 列具有很好的随机性，在与Arnold变换结合时能达到很好的图像置乱效果。但Arnold变换 在图像加密的过程中只改变图像的像素位置而不改变图像像素值，也是存在着被破译的较高 风险。
发明内容
为克服已有技术的不足，本发明旨在降低相邻像素的相关性和增大图像密钥空间， 从而提高加密图像的安全性。本发明采用的技术方案是：基于分数阶傅里叶变换的多混沌 Arnold图像加密方法，步骤如下：
步骤1：利用所述超混沌Lorenz与一维混沌系统Logistic产生随机序列生成Arnold变换的 变换矩阵参数m和q，用于改进Arnold变换，对图像置乱加密增强置乱效果,过程如下：
步骤1-1,对所述超混沌Lorenz系统进行离散化处理；
超混沌Lorenz系统公式如下：
其中，a＝10，b＝8/3,c＝28为系统参数，xi,yi,zi,vi分别表示系统变量对时间t的微分；
步骤1-2,利用龙格库塔法求解超混沌Lorenz系统方程得到结果：
其中，xi,yi,zi,vi表示第i次迭代的系统变量值，h为步长；
步骤1-3,将输入图像矩阵设为I,该图像可视为8个比特面组成，由式可得到所述超混沌 Lorenz初值x0，y0，z0，w0分别由图形的第4、5比特面,第3、6比特面,第2、7比特面， 第1、8比特面分别决定：
x0＝sum{sum[bitand(I,24)]}/(24×M×N)
y0＝sum{sum[bitand(I,36)]}/(36×M×N)
z0＝sum{sum[bitand(I,66)]}/(66×M×N)
w0＝sum{sum[bitand(I,129)]}/(129×M×N)
由上式可知，当图像I不同时，所述超混沌Lorenz初值x0，y0，z0，w0也不同；
步骤1-4,将x0，y0，z0，v0混沌的初值代入所述超混沌Lorenz进行迭代，产生长度为2MN混沌伪随机序列{xi}；
步骤1-5,舍弃{xi}的前200个值，使所述超混沌Lorenz系统充分进入混沌状态；
步骤1-6,为了产生足够长的{xi}，在迭代3000次后，对初值x0加上周期性的小扰动，即x0＝x0+hsiny0,然后将x0代入所述超混沌Lorenz进行迭代；
步骤1-7,将{xi}全部转换为整数类型Xi，Xi∈(1,2,…,10MN)并生成如下的大小均为M×N的 矩阵：
U＝reshape(X(1:M×N),M,N)
步骤1-8,对所述一维混沌系统Logistic进行初值求解，有一维混沌系统Logistic表达式：
xn＝μxn-1(1-xn-1)
其中，μ为分支参数,初值为x0；
步骤1-9,设得x0表达式：
其中，f(x,y)表示在图像(x,y)位置像素的灰度值，图像选取不同，所述一维混沌系统Logistic初值也将不同；
步骤1-10,将x0与μ代入所述一维混沌系统Logistic表达式，进行连续迭代1000+M×N次； 步骤1-11,为获得更好的所述一维混沌系统Logistic混沌序列，舍去前1000项，得到序列 {Pi}；
步骤1-12,将序列{Pi}转为整型，并根据下式生成大小为M×N的矩阵:
V＝reshape(P,M,N)。
步骤2：图像加密步骤：
步骤2-1，输入一幅大小为M×N的待加密灰度图像，获得二维图像矩阵h(x,y)；
步骤2-2,对图像行方向进行阶数为p1的初次分数阶傅里叶变换，得到初次变换后的图像 h1(x,y)；
步骤2-3，应用所述改进的Arnold变换实现对图像的置乱加密，其中Arnold变换表达式为：
其中，(x',y')是像素点(x,y)变换后的坐标；A是Arnold变换的变换矩阵；mod是取模运算； L是图像阶数；将所述超混沌Lorenz与一维混沌系统Logistic生成的随机序列作为Arnold变 换的变换矩阵参数m和q，可得所述改进的Arnold变换运算表达式：
其中，U(i,j)的值为m，V(i,j)的值为q；
步骤2-4：对图像h2(x,y)列方向进行阶数为p2的分数阶傅里叶变换，得到最终加密图像 f(x,y)。
步骤3,图像解密过程，具体步骤为：
步骤3-1，对图像f(x,y)列方向进行阶数为-p2的分数阶傅里叶逆变换，得到初次逆变换图 像f1(x,y)；
步骤3-2，借助加密过程中使用的Arnold矩阵按照从右至左，从下至上的顺序扫描图像f1(x,y)进行解密，得到反置乱后的图像f2(x,y)；
步骤3-3，对图像f2(x,y)行方向进行阶数为-p1的第二次分数阶傅里叶逆变换，得到最后解 密图像f3(x,y)。
本发明的优点及有益效果如下：
(1)本发明利用所述超混沌Lorenz系统与一维混沌系统Logistic产生随机序列，然后引入 Arnold变换生成其变换矩阵参数m和q，利用所述的改进Arnold变换对图像进行置乱，很 好增强了图像置乱的程度。
(2)本发明应用基于分数阶傅里叶变换的多混沌Arnold图像加密方法在空域改变了像 素位置的同时在频域改变其像素值，提高了加密图像的抗攻击能力。
(3)本发明应用分数阶傅里叶变换进行图形加密，增强了加密密钥的敏感性，也提高了 加密组合的灵活性。
(4)本发明应用多种方法混合的加密方法，具有很好的安全性。
附图说明:
图1为本发明基于分数阶傅里叶变换的多混沌Arnold图像加密方法的流程图；
图2为本发明中分别应用传统Arnold变换与应用所述改进的Arnold变换对图像置乱一次得 到的结果；其中，(a)为256×256像素256灰度级明文图像；(b)为经过一次传统Arnold变换 置乱的结果；(c)为经过一次所述改进的Arnold变换置乱的结果；(d)为经过一次所述改进的 Arnold变换加密的解密的结果；
图3为本发明中所述的改进Arnold变换相邻像素相关性点图；其中，(a)明文图像水平相邻 像素相关性点图，(b)密文图像水平相邻像素相关性点图，(c)明文图像垂直相邻像素相关性 点图，(d)密文图像垂直相邻像素相关性点图，(e)明文图像对角线相邻像素相关性点图，(f) 密文图像对角线相邻像素相关性点图
图4为基于分数阶傅里叶变换的多混沌Arnold图像加密结果图；其中，(a)为基于分数阶傅 里叶变换的多混沌Arnold图像加密的密文图像；(b)为分数阶傅里叶阶数有0.1误差而其他 密钥参数正确时的解密图像；(c)为加密密钥参数都正确时的解密图像。
具体实施方式
本发明通过对图像加密与图像解密来具体实施，加密步骤如下：
在本发明具体实现过程中，采用一个256级灰度，大小为256×256的灰度图像lena作为待 加密图像。
步骤1：利用所述超混沌Lorenz与一维混沌系统Logistic产生随机序列生成Arnold 变换的变换矩阵参数m和q，用于改进Arnold变换，对图像置乱加密增强置乱效果,过程如 下：
步骤1-1,对所述超混沌Lorenz系统进行离散化处理；
超混沌Lorenz系统公式如下：
其中，a＝10，b＝8/3,c＝28为系统参数，xi,yi,zi,vi分别表示系统变量对时间t的微分；
步骤1-2,利用龙格库塔法求解所述超混沌Lorenz系统方程得到结果：
其中，xi,yi,zi,vi表示第i次迭代的系统变量值，h为步长，数值设置为0.002；
其中，
步骤1-3,将输入图像矩阵设为I,其每个像素值范围都在0至255内，故该图像可视为8个比 特面组成，由下式可得到混沌系统初值x0，y0，z0，w0分别由图形的第4、5比特面,第3、6比特面,第2、7比特面，第1、8比特面分别决定:
x0＝sum{sum[bitand(I,24)]}/(24×M×N)
y0＝sum{sum[bitand(I,36)]}/(36×M×N)
z0＝sum{sum[bitand(I,66)]}/(66×M×N)
w0＝sum{sum[bitand(I,129)]}/(129×M×N)
由上式可知，当图像I不同时，所述超混沌Lorenz系统初值x0，y0，z0，w0也不同；
步骤1-4,将混沌的初值x0，y0，z0，v0代入所述超混沌Lorenz系统进行迭代，产生长度为2MN混沌伪随机序列{xi}；
步骤1-5,舍弃{xi}的前200个值，使所述超混沌Lorenz系统充分进入混沌状态；
步骤1-6,为了产生足够长的{xi}，在每迭代3000次后，对初值x0加上周期性的小扰动，即 x0＝x0+hsiny0,然后将x0代入所述超混沌Lorenz进行迭代；
步骤1-7,将{xi}全部转换为整数类型Xi，Xi∈(1,2,…,10MN)并生成如下的大小均M×N的矩 阵：
U＝reshape(X(1:M×N),M,N)；
步骤1-8,对所述一维Logistic混沌系统进行初值求解，有一维Logistic混沌系统表达式： xn＝μxn-1(1-xn-1)；
其中，μ为分支参数,初值为x0；
步骤1-9,设得x0表达式：
其中，f(x,y)表示位于图像(x,y)位置像素的灰度值，图像选取不同，所述一维Logistic混 沌系统初值也将不同。
步骤1-10,将x0与μ代入所述一维Logistic混沌系统表达式，进行连续迭代 1000+M×N次；
步骤1-11,为获得更好的所述一维Logistic混沌序列，舍去前1000项，得到序列{Pi}；
步骤1-12,将序列{Pi}转为整型，并根据下式生成大小为M×N的矩阵:
V＝reshape(P,M,N)。
步骤2：图像加密步骤：
步骤2-1，输入一幅大小为M×N的待加密lena灰度图像，获得二维图像矩阵h(x,y)；
步骤2-2,对图像h(x,y)行方向进行阶数为p1的初次分数阶傅里叶变换，将p1设置为0.2,得到 初次变换后的图像h1(x,y)；
分数阶傅里叶变换表达式为：
其中，
式中，p1，p2为变换阶数，
步骤2-3，应用所述改进的Arnold变换实现对图像h1(x,y)的置乱加密，其中Arnold 变换表达式为：
其中，(x',y')是像素点(x,y)变换后的坐标；A是Arnold变换的变换矩阵；mod是取模运算； L是图像阶数；将所述超混沌Lorenz与一维混沌系统Logistic生成的随机序列作为Arnold变 换的变换矩阵参数m和q，可得所述改进的Arnold变换运算表达式：
其中，U(i,j)的值为m，V(i,j)的值为q；
步骤2-4,对图像h2(x,y)列方向进行阶数为p2的分数阶傅里叶变换，将p2设置为0.6，得到 最终加密图像f(x,y)。
步骤3,图像解密过程，具体步骤为：
步骤3-1，对图像f(x,y)列方向进行阶数为-p2的分数阶傅里叶逆变换，得到初次逆变换图 像f1(x,y)；
二维分数阶傅里叶逆变换公式如下：
其中，
式中，p1，p2为变换阶数，
步骤3-2，借助加密过程所述改进的Arnold变换矩阵按照从右至左，从下至上的顺序扫描图 像f1(x,y)进行解密，得到反置乱后的图像f2(x,y)；
步骤3-3，对图像f2(x,y)行方向进行阶数为-p1的第二次分数阶傅里叶逆变换，得到最后解 密图像f3(x,y)。
分别使用传统Arnold变换与所述改进的Arnold变换对图2(a)的图像h(x,y)置乱一 次,通过比较图像2(b)和(c)置乱程度的效果，可以发现所述改进的Arnold变换仅对图像置乱 一次就能达到很好的置乱效果。
图像的一大特点就是相邻像素之间较高的相关性，往往一个有限区域内几个像素的 灰度值相差无几，明文图像水平、垂直和对角线相邻像素有很高的相关性，密文与之相反。 对图像相邻像素相关性进行如下分析：
任意取N对相邻的像素点,它们的灰度值记为:
(ui,vi),i＝1,2,3……,N
相关系数表达式为：
相关系数表达式中cov(u,v)为：
相关系数表达式中D(u)为：
D(u)中E(u)为:
由仿真结果可算出传统Arnold变换置乱8次与所述改进的Arnold变换置乱1次图像相邻像 素相关性系数,如表1所示：
表1：传统Arnold与改进Arnold变换置乱图像相邻像素相关性系数表
由表1发现，明文图像相关性系数接近于1，密文图像相关性系数接近于0。由计算结果可 以看出所述改进的Arnold变换加密的方法对图像仅置乱一次，就比传统Arnold变换置乱多 次的相邻像素相关性效果要好，同时可由仿真实验作出所述改进的Arnold变换明文与密文 图像相邻像素相关性点图，结果如图3所示,可以发现所述改进的Arnold变换有效地破坏了 明文图像的相邻像素相关性。
所述改进的Arnold变换图像置乱的方法只改变图像像素位置但不改变像素值，引入 分数阶傅里叶变换可以很好改进这种问题。
对基于分数阶傅里叶变换的多混沌Arnold图像加密方法仿真结果如图4所示:
当分数阶傅里叶的阶数有0.1误差时，由仿真结果图4(b)发现解密图像无法还原， 可以发现该加密方法中分数阶傅里叶阶数有较高的密钥敏感性，同时提高了密钥空间的大小， 具有很好的安全性。
